Perbedaan-Perbedaan Nilai Maksimum dengan Nilai Minimum
Munculnya masalah jika penggunaan turunan digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Turunan pertama sebuah fungsi total menunjukkan suatu ukuran apakah fungsi tersebut sedang menaik atau menurun pada titik tertentu. Turunan kedua digunakan untuk membedakan nilai maksimum dengan minimum dari suatu fungsi. Turunan kedua ini merupakan turunan dari turunan pertama.
Contoh jika laba total ditunjukkan pada persamaan :
p = -3.000 – 2.400Q + 350Q 2 – 8,333Q 3
Turunan pertama dari laba total menunjukkan laba marginal,
Laba marginal (M p) = d p /dQ = -2.400 + 700Q – 25Q 2
Laba total akan maksimum atau minimum pada titik dimana turunan pertama tersebut (laba marginal) sama dengan nol, maka :
d p /dQ = -2.400 + 700Q – 25Q 2 = 0
Dengan menggunakan rumus abc (a = -25 , b = 700 , c = -2.400) , diperoleh output yang memenuhi persamaan tersebut yaitu 4 dan 24. Oleh karena itu nilai-nilai tersebut merupakan titik-titik laba maksimum atau minimum.
Turunan kedua dari turunan pertama menunjukkan apakah nilai-nilai tersebut minimum atau maksimum:
Turunan pertama d p /dQ = -2.400 + 700Q – 25Q 2
Turunan kedua d 2 p /dQ 2 = dM p /dQ = 700 – 50Q
Pada tingkat output atau Q = 4
d 2 p /dQ 2 = dM p /dQ = 700 – 50.4 = 500
Karena pada turunan kedua tersebut POSITIF, yang menunjukkan bahwa laba marginal sedang menaik, maka laba total adalah MINIMUM pada tingkat output sebesar4 unit.
Pada tingkat output atau Q = 24
d 2 p /dQ 2 = dM p /dQ = 700 – 50.24 = -500
Karena pada turunan kedu tersebut NEGATIF pada tingkat output sebesar 24 , yang menunjukkan bahwa laba marginal tersebut sedang menurun, maka fungsi laba total mencapai titik MAKSIMUM pada output sebesar 24 unit.
Untuk membuktikan nilai laba maksimum atau minimum ,masukkan nilai output sebesar Q = 4 dan Q = 24, pada persamaan fungsi laba total p = -3.000 – 2.400Q + 350Q 2 – 8,333Q 3 . Pada Q = 4 diperoleh laba total sebesar p = -7533,312 dan pada Q = 24 diperoleh p = 25.803,608
Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih antara Dua Fungsi
Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu MR harus sama dengan MC agar laba maksimum bisa dicapai, sebenarnya timbul berdasarkan pada asas optimisasi kalkulus tersebut. Contoh berikut ini fungsi-fungsi penerimaan, biaya, dan laba berikut ini :
TR = 41,5Q – 1,1Q 2
TC = 150 + 10Q – 0,5Q 2 + 0,02Q 3
Laba Total ( p ) = TR – TC
p = 41,5Q – 1,1Q 2 – (150 + 10Q – 0,5Q 2 + 0,02Q 3 )
p = 41,5Q – 1,1Q 2 – 150 - 10Q + 0,5Q 2 - 0,02Q 3
p = – 150 + 31,5Q - 0,6Q 2 - 0,02Q 3
Laba marginal atau turunan pertama dari fungsi laba tersebut adalah
M p = d p /dQ= 31,5 - 1,2Q - 0,06Q 2
Dengan menggunakan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan rumus abc dapat diketahui Q 1 = -35 dan Q 2= -15 . Karena output yang negatif tidak mungkin terjadi, maka Q 1 = -35 bukan merupakan tingkat output yang bisa digunkan.
Suatu pengujian terhadap turunan kedua dan fungsi laba tersebut pada tingkat Q =15 akan menunjukkan apakah ini merupakan titik laba maksimum atau titik laba minimum.
d 2 p /dQ 2= dM p /dQ = - 1,2Q - 0,12Q
Dengan menguji turunan tersebut pada Q = 15 menghasilkan nilai turunan menghasilkan nilai turunan kedua tersebut sebesar -3 , oleh karena Q = 15 merupakan titik laba maksimum.
Untuk melihat hubungan MR dan MC dengan maksimasi laba, p = TR – TC dengan menggunakan kaidah penjumlahan dan selisih dari diferensiasi, maka persamaan umum laba marginal adalah :
M p = d p /dQ = dTR/dQ – dTC/dQ
Jika dTR/dQ merupakan MR dan dTC/dQ merupakan MC, maka M p = MR – MC
Untuk memaksimisasi setiap fungsi mengharuskan turunan pertama sama dengan nol, maka maksimisasi laba akan terjadi jika M p = MR – MC = 0 atau MR = MC
Dari contoh diatas maka MR dan MC diperoleh dengan turunan TR dan TC sebagai berikut :
MR = dTR/dQ = 41,5 – 2,2Q
MC = 10 – Q + 0,06Q 2
Pada tingkat output yang memaksimumkan laba MR = MC , maka
MR = MC = 41,5 – 2,2Q = 10 – Q + 0,06Q 2
Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut diperoleh
0 = -31,5 + 1,2Q + 0,06Q 2
Diperoleh Q 1 = -35 dan Q 2= 15 , hal ini menunjukkan bukti bahwa MR = MC pada tingkat output yang menghasilkan laba maksimum.
