KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI (2)

Perbedaan-Perbedaan Nilai Maksimum dengan Nilai Minimum
 Munculnya masalah jika penggunaan turunan digunakan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Turunan pertama sebuah fungsi total menunjukkan suatu ukuran apakah fungsi tersebut sedang menaik atau menurun pada titik tertentu. Turunan kedua digunakan untuk membedakan nilai maksimum dengan minimum dari suatu fungsi. Turunan kedua ini merupakan turunan dari turunan pertama.
Contoh jika laba total ditunjukkan pada persamaan :
p = -3.000 – 2.400Q + 350Q 2 – 8,333Q 3
Turunan pertama dari laba total menunjukkan laba marginal,
Laba marginal (M p) = d p /dQ = -2.400 + 700Q – 25Q 2
Laba total akan maksimum atau minimum pada titik dimana turunan pertama tersebut (laba marginal) sama dengan nol, maka :
d p /dQ = -2.400 + 700Q – 25Q 2 = 0
Dengan menggunakan rumus abc (a = -25 , b = 700 , c = -2.400) , diperoleh output yang memenuhi persamaan tersebut yaitu 4 dan 24. Oleh karena itu nilai-nilai tersebut merupakan titik-titik laba maksimum atau minimum.
Turunan kedua dari turunan pertama menunjukkan apakah nilai-nilai tersebut minimum atau maksimum:
Turunan pertama d p /dQ = -2.400 + 700Q – 25Q 2
Turunan kedua d 2 p /dQ 2 = dM p /dQ = 700 – 50Q
Pada tingkat output atau Q = 4
d 2 p /dQ 2 = dM p /dQ = 700 – 50.4 = 500
Karena pada turunan kedua tersebut POSITIF, yang menunjukkan bahwa laba marginal sedang menaik, maka laba total adalah MINIMUM pada tingkat output sebesar4 unit.
Pada tingkat output atau Q = 24
d 2 p /dQ 2 = dM p /dQ = 700 – 50.24 = -500
Karena pada turunan kedu tersebut NEGATIF pada tingkat output sebesar 24 , yang menunjukkan bahwa laba marginal tersebut sedang menurun, maka fungsi laba total mencapai titik MAKSIMUM pada output sebesar 24 unit.
Untuk membuktikan nilai laba maksimum atau minimum ,masukkan nilai output sebesar Q = 4 dan Q = 24, pada persamaan fungsi laba total p = -3.000 – 2.400Q + 350Q 2 – 8,333Q 3 . Pada Q = 4 diperoleh laba total sebesar p = -7533,312 dan pada Q = 24 diperoleh p = 25.803,608
Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih antara Dua Fungsi
Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu MR harus sama dengan MC agar laba maksimum bisa dicapai, sebenarnya timbul berdasarkan pada asas optimisasi kalkulus tersebut. Contoh berikut ini fungsi-fungsi penerimaan, biaya, dan laba berikut ini :
TR = 41,5Q – 1,1Q 2
TC = 150 + 10Q – 0,5Q 2 + 0,02Q 3
Laba Total ( p ) = TR – TC
p = 41,5Q – 1,1Q 2 – (150 + 10Q – 0,5Q 2 + 0,02Q 3 )
p = 41,5Q – 1,1Q 2 – 150 - 10Q + 0,5Q 2 - 0,02Q 3
p = – 150 + 31,5Q - 0,6Q 2 - 0,02Q 3
 
Laba marginal atau turunan pertama dari fungsi laba tersebut adalah
M p = d p /dQ= 31,5 - 1,2Q - 0,06Q 2
Dengan menggunakan laba marginal sama dengan nol dan menggunakan rumus abc dapat diketahui Q 1 = -35 dan Q 2= -15 . Karena output yang negatif tidak mungkin terjadi, maka Q 1 = -35 bukan merupakan tingkat output yang bisa digunkan.
Suatu pengujian terhadap turunan kedua dan fungsi laba tersebut pada tingkat Q =15 akan menunjukkan apakah ini merupakan titik laba maksimum atau titik laba minimum.
d 2 p /dQ 2= dM p /dQ = - 1,2Q - 0,12Q
Dengan menguji turunan tersebut pada Q = 15 menghasilkan nilai turunan menghasilkan nilai turunan kedua tersebut sebesar -3 , oleh karena Q = 15 merupakan titik laba maksimum.
Untuk melihat hubungan MR dan MC dengan maksimasi laba, p = TR – TC dengan menggunakan kaidah penjumlahan dan selisih dari diferensiasi, maka persamaan umum laba marginal adalah :
M p = d p /dQ = dTR/dQ – dTC/dQ
Jika dTR/dQ merupakan MR dan dTC/dQ merupakan MC, maka M p = MR – MC
Untuk memaksimisasi setiap fungsi mengharuskan turunan pertama sama dengan nol, maka maksimisasi laba akan terjadi jika M p = MR – MC = 0 atau MR = MC
Dari contoh diatas maka MR dan MC diperoleh dengan turunan TR dan TC sebagai berikut :
MR = dTR/dQ = 41,5 – 2,2Q
MC = 10 – Q + 0,06Q 2
Pada tingkat output yang memaksimumkan laba MR = MC , maka
MR = MC = 41,5 – 2,2Q = 10 – Q + 0,06Q 2
Dengan menggabungkan kedua persamaan tersebut diperoleh
0 = -31,5 + 1,2Q + 0,06Q 2
Diperoleh Q 1 = -35 dan Q 2= 15 , hal ini menunjukkan bukti bahwa MR = MC pada tingkat output yang menghasilkan laba maksimum.

KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI

Kalkulus Diferensial

Walaupun tabel dan grafik bermanfaat untuk menjelaskan konsep-konsep hubungan ekonomi, tetapi persamaan seringkali lebih cocok digunakan dalam poses pemecahan masalah. Salah satu alasannya adalah teknik analisis kalkulus diferensial bisa digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara efisien melalui analisis marginal. Pendekatan kalkulus sangat bermanfaat bagi masalah optimasi terkendala yang merupakan cirri dari proses pembuatan keputusan manajerial.

Kita telah mendefinisikan nilai marginal sebagai perubahan nilai variable dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit suatu variabel independen.

Perhatikan fungsi Y = f(x), dengan menggunakan tanda delta ( ∆) sebagai tanda perubahan , kita dapat menunjukkan perubahan nilai variable independen ( x ) dengan notasi ∆X dan perubahan variable dependen ( Y ) dengan notasi ∆Y. Perbandingan ∆Y/∆X menunjukkan suatu spesifikasi umum dari konsep marginal :

Marginal Y = ∆Y/∆X
Perubahan Y yaitu ∆Y dibagi dengan perubahan X yaitu ∆X menunjukkan perubahan variable dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit nilai X. Secara konseptual , suatu turunan suatu spesifikasi yang tepat dari hubungan marginal secara umum, ∆Y/∆X . Untuk mendapatkan suatu turunan kita harus mendapatkan nilai rasio ∆Y/∆X untuk suatu perubahan variable independen yang sangat kecil. Notasi matematis untuk sebuah turunan adalah :
dy/dX = lim ∆Y/∆X
x→0
Notasi tersebut dibaca “ turunan Y pada X sama dengan limit dari ∆Y/∆X jika X mendekati nol” Konsep turunan sebagai limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope dari sebuah kurva pada sebuah titik. Slope menunjukkan perubahan marginal Y yang disebabkan oleh suatu perubahan X yang sangat kecil pada titik tersebut. Misalkan variable dependen Y adalah penerimaan total (TR) dan variable independen adalah output . Maka turunan dY/dX menunjukkan bagaimana hubungan antara penerimaaan dengan output pada suatu tingkat output tertentu. Oleh Karena perubahan penerimaan yang disebabkan oleh perubahan output didefinisikan sebagai penerimaan marginal (MR) maka turunan TR adalah sama dengan MR pada setiap output tertentu.
Keadaan yang sama terjadi untuk biaya total atau total cost (TC) , turunan fungsi TC pada setiap tingkat output menunjukkan biaya marginal atau marginal cost (MC)pada output tersebut.
Kaidah Konstanta

Mencari turunan dari suatu fungsi bukanlah merupakan pekerjaan yang sulit. Turunan dari sebuah konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y = sebuah konstanta, maka :

dy/dx= 0
Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = aX b , dimana a dan b merupakan konstanta adalah sama dengan pangkat (exponent) b dikalikan dengan koefisien a dikalikan dengan variable X pangkat b-1 ;
Y = a X b
Y =b.a X (b-1)
Contoh
Y = 2X 3
Maka
dy/dx = 3.2X (3-1)
dy/dx = 3.2X 2
dy/dx = 6X 2
Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Jika suatu fungsi berada pada keadaan maksimum atau minimum, maka slope atau nilai marginal pasti nol. Berikut ini fungsi laba
Laba (L) = -1000 + 400Q – 2Q 2

Disini = laba total dan Q adalah jumlah output. Jika output sama dengan nol , maka perusahaan tersebut akan rugi Rp 10.000,- (biaya tetap Rp 10.000,-) tetapi jika output meningkat , maka laba akan meningkat. Titik impas atau breakeven point dapat dicapai pada saat output berjumlah 29 unit (penghitungan dapat dilakukan dengan rumus abc).Laba maksimum dicapai pada saat output sebesar 100 unit dan setelah itu laba menurun.

Laba maksimum tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan turunan (marginal) dari fungsi laba tersebut, kemudian menentukan nilai Q yang membuat turunan (marginal) tersebut sama dengan nol

Laba (L) = -1000 + 400Q – 2Q 2
Marginal (ML) dL/dQ = 400 -4Q
Dengan menyamakan turunan tersebut sama dengan nol maka ;
400 – 4Q =0
4Q = 400
Q =100 unit
Oleh karena jika Q = 100, maka laba marginal sama dengan nol dan laba total adalah maksimum